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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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24. Marque con una cruz la única respuesta correcta. Dada la función continua $f$, ponemos $A=\int_{2}^{3}f(x)dx$ y $B=\int_{8}^{11}f\left(\frac{t-2}{3}\right)dt$, entonces es cierto que 


$\square$ $A=3B$
$\square$ $3A=B$
$\square$ $A=B$
$\square$ Ninguna de las anteriores

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Avatar Manuel 23 de junio 23:22
Hola Flor, una consulta, ya se que esta mal pero yo intente hacer Barrow en ambas suponiendo que las dos f eran iguales y, por lo tanto, tenian la misma primitiva y me quedo que A=B. Entendi tu forma de hacerlo (dudo que se me hubiese ocurrido) pero no entiendo porque esta mal hacer Barrow.
Gracias!
Avatar Flor Profesor 24 de junio 12:38
@Manuel Hola Manu! Totalmente entendible tu sensación jaja es verdad que la primera vez que uno ve estos ejercicios capaz no se le ocurre por donde viene la mano, pero si llegás a tener que rendir el final vas a ver que aparecen seguido en los modelos de final, así que uno ahi se va acostumbrando y se te va a ocurrir en el final jaja

Por ahi la manera más fácil de darte cuenta de que las dos primitivas no son iguales es esta...

Imaginate que vos tenés que $f$ es $\cos(x)$ 

Entonces, si yo te digo 

$\int \cos(x) \, dx$ 

y 

$\int \cos(t) \, dt$ 

esas primitivas si son iguales, en ambos casos la primitiva es $\sin(x)$ o $\sin(t)$ (dependiendo la variable, pero es el nombre que le estamos poniendo a la variable nomás, la primitiva es la misma, es la función seno) 

Ahora, las primitivas de 

$\int \cos(x) \, dx$ 

y 

$\int \cos(\frac{t-2}{3}) \, dt$

ya no van a tener por qué ser iguales

Se ve un poco mejor con este ejemplo? Te lo traté de llevar a un ejemplo bien bajado a tierra, tomando una función $f$ "realista" jajaja, a ver si se entiende un poco mejor
Avatar Leon 18 de junio 10:06
hola buenas, hay algun video en el que se explique lo de cambiar los limites de integracion? siempre me confundo en ese paso 😅
Avatar Flor Profesor 18 de junio 17:29
@Leon Hola León! Nopppp, sabés que no tengo ninguno de estos grabado en video :( Es un tipo de ejercicio que ni ahi te vas a encontrar en un parcial, pero en un final si puede aparecer algo así 

La idea es que vos, esto mismo de cambiar los límites de integración, lo podrías hacer siempre... o sea, yo podría haberte explicado el método de sustitución desde el principio diciendo que, si querés resolver una integral definida usando este método, además de escribir todo lo de adentro de la integral en términos de $u$, también tenés que modificar los límites de integración. Para mi, se confunden menos si primero uno hace la integral indefinida, vuelve a la variable $x$ y ahi aplicás Barrow. 

Te escribo acá en la tablet un ejemplo con una integral definida cualquiera que capaz te ayuda a entenderlo, viendo los dos caminos posibles que uno podría seguir: el primero es el de siempre, el segundo es cambiando los límites de integración, convencete que en ambos llegas exactamente al mismo resultado :) Porfa cualquier duda de esto preguntame y avisame si queda un poco más claro!

(Fijate también que abajo hay un comentario de Benjamín donde también estuvimos charlando de lo mismo)

2024-06-18%2017:27:24_4766791.png
Avatar Leon 19 de junio 09:58
ah no es complicado, ahi lo entendí, muchas gracias por contestar
Avatar Benjamin 11 de junio 07:31
no entendi como se cambian los limites de integracion, osea, por que con solo evaluar esa t en el 8 y el 11 ya me cambio la integral?
Avatar Flor Profesor 11 de junio 19:00
@Benjamin Fijate que vos querés escribir esta integral

$B=\int_{8}^{11}f\left(\frac{t-2}{3}\right)dt$

en la variable $x$

Entonces, tomamos la sustitución 

$x= \frac{t-2}{3}$

Ahora, ese $8$ y ese $11$ que te aparecen ahí en los límites de integración son $t = 8$ y $t = 11$. Entonces, por ej, cuando $t$ vale $8$ queremos ver cuánto vale $x$, hacemos:

$x= \frac{8-2}{3} = 2$

Entonces, el límite inferior es $x=2$ (y ya no $t = 8$) 

Esto se podría hacer en general siempre que vos haces una integral definida por sustitución, aunque yo al menos prefiero hacer primero la integral indefinida, uso sustitución, vuelvo para atras a la variable $t$ y ahi aplico Barrow con t = 8 y t = 11. Pero en este caso, por como está planteado el ejercicio, no nos quedaba otra que encararlo así y escribir toda la integral definida en términos de $x$ (la variable de la sustitución)
Avatar Benjamin 11 de junio 19:43
ahh claro claro gracias!
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